DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA: Didáctica del número cardinal

DIDÁCTICA DEL NÚMERO CARDINAL.

Este tema está dedicado a una parte del número: el número cardinal.

Cuando tratamos el aspecto cardinal estamos cuantificando una colección de objetos, por ejemplo, rodea 5 manzanas.

La estructura de clasificación y la teoría de conjuntos nos van a ayudar a definir el número cardinal.

La construcción matemática del número cardinal: Dos conjuntos son equipotentes si existe una aplicación biyectiva entre ellos. (Dos conjuntos son equipotentes porque hay una correspondencia uno a uno entre ellos. A un elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B)

Ejemplo:

Tenemos dos conjuntos.

A: Tres caramelos de distintos sabores (fresa, menta y mora)

B: Tres envoltorios de distintos colores (rosa, verde y morado)

A cada caramelo le pertenece un envoltorio y por lo tanto es una correspondencia biyectiva.

Si por el contrario tuviésemos:

A: Tres caramelos de distintos sabores (fresa, menta y mora)

B: Dos envoltorios de diferentes colores (rosa y morado)

Estaríamos hablando de una correspondencia inyectiva, con lo cual ya no estaríamos hablando del número cardinal.

La relación de equipotencia entre dos conjuntos, es una relación de equivalencia pues cumple las propiedades:

• Reflexiva: Todo conjunto es equipotente consigo mismo
• Simétrica: Si un conjunto es equipotente a otro entonces este es equipotente al primero.
• Transitiva: Si un conjunto es equipotente a un segundo y este lo es a un tercero, entonces el primero y el tercero son equipotentes.

La relación de equivalencia nos permite definir las clases de equivalencia.

La clase de equivalencia de un conjunto cualquiera A, según la relación de equipotencia que acabamos de definir, está formada por todos los conjuntos X que son coordinables o equipotentes con A.

El conjunto formado por todas las clases determina el conjunto cociente. Entonces, definimos: El número cardinal de un conjunto A, y lo anotamos card(A), como la propiedad que tienen en común todos los conjuntos coordinables o equipotentes con A, es decir, es la característica de la clase de equivalencia del conjunto A.

Número cardinal del conjunto A:   card(A)

Card (∅) =0 y se llama número cardinal cero.

Card ({∅}) =1 y se llama número cardinal uno.

Card({∅; {∅} })=2 y se llama número cardinal dos.

Card({∅; {∅}; {∅;{∅}} })=3 y se llama número cardinal tres.

Y así sucesivamente, de esta manera se construyen los números. Se utiliza esta forma para tener garantizado el poder añadir un elemento más, se añade un conjunto como elemento. (Los números van asociados a conjuntos)

Nosotros hemos definido los números cardinales, y lo primero que tenemos que hacer es poner en secuencia los números cardinales, puesto que si no lo hacemos no se puede seguir adquiriendo conocimientos relacionados con el número.

Debemos ordenar los números cardinales definidos anteriormente. Para ello definimos la relación de orden menor o igual de la siguiente forma:

"Diremos que x es menor o igual que y, escribimos x≤y, si y sólo si existe una aplicación inyectiva f de A en B.” Un número cardinal es menor o igual que otro número cardinal, cuando al compararlo en el segundo sobran elementos, es una aplicación inyectiva.

          

Ejemplo:
A= conjunto de 5 botones lisos 
B = conjunto 9 botones rugosos
A < B
f: A --à B

Esta relación es de orden pues cumple las propiedades:

• Reflexiva (es decir, que x≤x)
• Antisimétrica (es decir, si x≤y e y≤x entonces⇒ x=y)
• Transitiva (es decir, si x≤y e y≤z entonces ⇒ x≤z)

Esta relación de orden tiene dos características:

1. Es una relación de orden total, porque entre dos conjuntos cualesquiera A y B siempre se puede establecer una aplicación inyectiva (todos se pueden comparar) bastando para ello colocar como conjunto original el que tenga menos elementos
2. Se trata de una buena ordenación, es decir, los números cardinales están bien ordenados por la relación "menor o igual", tanto el conjunto de todos los cardinales como cualquier subconjunto tienen un primer elemento. Eso tiene como consecuencia que a cada elemento le sigue inmediatamente otro, no habiendo entre ambos ninguno intermedio.

Ejemplo: En la serie del 1 al 10 existe un primer elemento que es el número 1, pero si empezamos la serie por el 5, el primer elemento sería este último.

Por tanto, lo primero que tenemos que hacer nada más definir cuál es el número cardinal es ponerlo en secuencia ya que si no, no podemos trabajar con él, y para ello debemos comparar conjuntos realizando aplicaciones. En el caso de las relaciones biyectivas, se tratará un número cardinal igual del que estamos partiendo, y en el caso de las inyectiva, nos indicará si se trata de un número cardinal mayor o menor del que estamos partiendo.

Los números, cuando nos referimos a su aspecto cardinal, son conjuntos de elementos.

Para ordenar los elementos debemos ir comparando uno a uno los conjuntos de elementos y cuando sobren elementos en comparación sabemos que es mayor.

La cuantificación de las colecciones

Desde el punto de vista de las situaciones didácticas y la actuación en el aula de educación infantil podemos identificar los conjuntos matemáticos con colecciones de objetos y la propiedad que tienen en común todos los conjuntos que son equipotentes entre sí con el “tamaño de las colecciones” en el sentido de cuantificación de las mismas.

Significado didáctico de número cardinal

El número cardinal de un conjunto determina el tamaño de una colección de objetos cuantificándola, es por ello que da respuesta a la pregunta “¿Cuántos hay?”. Si decimos “hay 5 caramelos”, “15 coches” o “hay 1000 euros” estamos tratando los números que ahí aparecen en su aspecto cardinal. En todas esas situaciones los números cuantifican colecciones.

Tenemos dos situaciones distintas pero recíprocas:

1. En la primera se da un conjunto y el número cardinal determina la cantidad de elementos que contiene, por ejemplo, en el conjunto representado por un cubilete que contiene lápices, si decimos “hay 7 lápices”, el número 7 determina el cardinal del conjunto dado.
2. En la segunda se da un número cardinal y a partir de él obtenemos un conjunto exactamente de ese "tamaño" dado. Por ejemplo “dame 7 lápices” es un caso perfectamente ajustable a esta segunda situación.

Cálculo del número cardinal:

Hay diferentes métodos para calcular el número cardinal. Pero vamos a centrarnos en dos de ellos:

• Subitización: Sin contarlos, sabe que hay 1, 2 o como máximo 5 objetos. Este método se utiliza cuando hay pocos elementos.
• Recuento: contamos uno a uno y vemos que cantidad hay en el conjunto, la última palabra del recuento es el cardinal del conjunto.

Principios del conteo o recuento:

• Principio de orden estable: Disponer de una secuencia estable y convencional.
• Principio de correspondencia uno a uno: asignar a cada objeto una palabra numérica.
•  Principio de abstracción: cualquier cosa se puede contar. No tienen por qué ser objetos que pueda ver y tocar. Se pueden oír, por ejemplo.
•  Principio de cardinalidad: la última palabra del recuento es el cardinal del conjunto (como el recuento anteriormente hablado).
• Principio de orden irrelevante: El orden por el que empecemos a contar no importa porque vamos a terminar teniendo la misma cantidad empiece a contar por el principio, por el final o por los elementos de en medio.

Comparación de los conjuntos en cuanto a cantidad: "igual que", "más que" ó "menos que “:

A los niños les cuesta contar, el número para ellos no representa mentalmente la cantidad en todos los casos. Por ejemplo, ellos pueden contar que hay 5 capuchones y luego contar que hay 5 bolígrafos, y si les preguntas si hay más bolígrafos o capuchones, ellos te pueden decir que hay más capuchones. Tienen dos formas de comparar en las que es más difícil equivocarse:

• Semejanzas perceptivas: Se ponen en hilera los elementos de un conjunto, y debajo los elementos de otro conjunto en hilera también, se observa en qué conjunto hay más.
• Correspondencia uno a uno: Procedimiento eficaz y operatorio, porque con este se puede asegurar:

Si no sobran elementos en ninguno de los dos conjuntos es porque son lo mismo, son iguales.

Si, por el contrario, en uno de ellos, sobran elementos entonces es porque es mayor que el otro.

Lenguaje subyacente a la cardinación

• Numerales y verbo: Tengo 8, debo 3, hay 5, etc.
• Numerales y objeto: 3 caramelos, 8 niños, 4 camisetas, etc.
• Comparación de cantidades discretas: Hay más niños que niñas, hay igual niños que niñas, hay menos niños que niñas, etc. Las cantidades discretas son aquellas que puedo contar, por ejemplo, 2 libros. Y las cantidades continuas son aquellas que no podemos contar, por ejemplo, la arena o líquidos.

Operaciones lógico-matemáticas de la cardinación:

Conservación de cantidades discretas:

• No porque abulte más hay mas
• No porque estén más espaciados hay más.

El esquema de desarrollo hasta alcanzar el éxito operatorio al pasar por la correspondencia uno a uno (Etapas de Piaget), para la cual tenemos tres niveles que veremos a continuación:

• Provocada y no duradera
• No provocada y no duradera
• No provocada y duradera

Lógica de clases:

• La inclusión: un conjunto está contenido en otro, por ejemplo, Málaga está incluida en Andalucía.
• Si A c B => card (A) < card (B)
• El complementario: por ejemplo, el complementario de ser Malagueño dentro de Andalucía es ser del resto de provincias restantes de Andalucía.
• La inclusión jerárquica: consiste en clasificar lo que ya se ha clasificado anteriormente, pero ahora de forma jerárquica. 

ETAPAS POR LAS QUE PASA EL NIÑO PARA COMPLETAR EL ÉXITO OPERATORIO EN LA CORRESPONDENCIA UNO A UNO (PIAGET)

Piaget realiza las pruebas en tres niveles (no sabe, intermedio y sabe). Si supera la primera prueba se pasan a las siguientes.

Materiales: Huevos y hueveras, flores y floreros, botellas y vasos.

Se le presenta al niño una cantidad de floreros puestos en hilera y en otro lugar una montaña de flores. Se le dice al niño que ponga una flor dentro de cada florero, después de que se realice la acción, se le pregunta al niño si hay las mismas flores que floreros, el niño dice que sí. Cogemos las flores y las agrupamos y preguntamos si hay las mismas flores que floreros y el niño dice que hay más floreros, ya que ven los floreros más esparcidos.

CORRESPONDENCIA PROVOCADA Y NO DURADERA (NIVEL BAJO)

Se le presenta al niño una cantidad de floreros puestos en hilera y en otro lugar una montaña de flores. Le decimos a los niños que cojan tantas flores como floreros, después nosotros metemos las flores en cada florero. Le preguntamos si hay las mismas flores que floreros, el niño dice que sí. Cuando cogemos las flores y las agrupamos y preguntamos si hay las mismas nos dice que no.

CORRESPONDENCIA NO PROVOCADA Y NO DURADERA (NIVEL INTERMEDIO)

Se le presenta al niño una cantidad de floreros puestos en hilera y en otro lugar una montaña de flores. Le decimos a los niños que cojan tantas flores como floreros, después nosotros metemos las flores en cada florero. Le preguntamos si hay las mismas flores que floreros, el niño dice que sí. Cuando cogemos las flores y las agrupamos y preguntamos si hay las mismas nos dice que SI.

CORRESPONDENCIA NO PROVOCADA Y DURADERA (NIVEL ALTO)

Didáctica de Dienes basada en el aspecto cardinal (método para enseñar el número cardinal)

En la didáctica que propone Dienes para la adquisición del concepto de número es necesario animar al niño a realizar los siguientes 6 pasos (nunca se dice el número):

1. Que realice juegos de correspondencia uno a uno. Debe aprender a clasificar los conjuntos en conjuntos equivalentes. (Equipotencia de conjuntos)
2. Que juegue con los bloques lógicos.
3. Comprender que no hay una única correspondencia uno a uno entre dos conjuntos, sino que hay muchas.
4. Construir conjuntos que no puedan ponerse en correspondencia uno a uno. La posibilidad de establecer conjuntos en correspondencia conduce a la igualdad de sus propiedades numéricas y la imposibilidad a la desigualdad de estas propiedades.
5. Usar el simbolismo matemático: =, <, >. Los símbolos <, > se adquirirán fácilmente mediante la manipulación de las regletas encajables.
6. Poner los números cardinales en sucesión. Hay que determinar el siguiente de un número dado; éste sería aquel que se refiere a los conjuntos que tienen un elemento más que los conjuntos a los cuales se aplica nuestro número. Así, para introducir la idea.

En el siguiente enlace hemos añadido un vídeo con el resumen de este tema:

https://animoto.com/play/WWsS513CZI94Te9WWRIwPQ